Notiamo che gli angoli b e x sono soggetti alle seguenti limitazioni
Maturità ordinaria 1998 - Soluzione quesito 3
a)
cos b = 4/5
Con semplici calcoli si trova che:
sen b =3/5 ; tg b =3/4.
Notiamo che gli angoli b
e x sono soggetti alle seguenti limitazioni
0 £ x £ p /2
p /6 £ b £ p /4
Il solido richiesto è un tronco di cono privato di due coni; il suo volume è dato da:
Le misure dei segmenti richiesti sono:
AK = (3/2) a sen x ; AH = 2a cos x ; BH = 2a sen x ; CK = (3/2) a cos x.
Sostituendo ed eseguendo i calcoli s ha:
V(x) = (1/2) p a3 ( 4 sen x + 3 cos x)
b)
La funzione richiesta può essere velocemente rappresentata se si trasforma nel modo seguente:
V = (5/2) p a3 ((4/5) sen x + (3/5) cos x) = (5/2) p a3 sen (x+b )
( b = arc tg (3/4) )
La funzione in questione si ottiene quindi dalla funzione y=sen x mediante una traslazione verso destra di b dell'asse y.
Il suo grafico è il seguente (arco AB)
c)
Le coordinate dei punti caratteristici per la discussione richiesta sono:
A = (0; (3/2) p a3); M = (p /2 - b ; (5/2) p a3); B = ( p /2; 2 p a3 )
Si chiede di discutere il seguente sistema, al variare del parametro reale k
in cui la seconda equazione rappresenta un fascio di rette parallele all'asse x. Si ha:
Quindi si ha:
d)
La formula del volume del tronco di cono si può ricavare applicando la formula per il calcolo dei volumi dei solidi che si ottengono facendo ruotare il grafico di una funzione di equazione y=f(x) attorno all'asse x:
La funzione da considerare è la retta di equazione
nell’intervallo [0,h], essendo r ed R i raggi di base del tronco ed h l'altezza.
Allo stesso risultato si può giungere per via geometrica.
Si consideri la seguente figura:
Si consideri la seguente figura:
Dall'evidente similitudine tra triangoli segue:
da cui:
x= (rh / (R-r)).
Per differenza tra il volume del tronco più grande e quello del cono più piccolo si ottiene la formula richiesta.