a) Determinare quali tra esse hanno punti in comune con l’asse x e quali no.

 b) Trovare le due parabole che hanno il vertice in un punto di ascissa a.

 c) Stabilire se le due parabole trovate sono congruenti o no, fornendo un’esauriente spiegazione della risposta.

 d) Scrivere l’equazione del luogo geometrico L dei vertici delle parabole assegnate e disegnarne l’andamento dopo averne determinato in particolare asintoti, estremi e flessi.

 e) Calcolare l’area della regione finita di piano delimitata dalla curva L e dalla retta di equazione y=.

 a) Calcolare le misure dei lati del trapezio.

 b) Riferito il piano della figura ad un conveniente sistema di assi cartesiani (Oxy), scrivere le coordinate dei vertici del trapezio.

 c) Determinare l’equazione della circonferenza inscritta nel trapezio.

 d) Trovare le coordinate dei punti in cui questa circonferenza tocca i lati del trapezio.

 e) Calcolare le tangenti degli angoli interni del quadrilatero avente per vertici i suddetti punti di contatto.

 1) Nota la lunghezza di una corda di un cerchio di dato raggio, calcolare quella della corda sottesa dall’angolo al centro uguale alla metà di quello che sottende la corda data.

[Nota – La risoluzione del problema è stata usata da Tolomeo, II sec. d.C., per la costruzione di una tavola trigonometrica in maniera equivalente alla nostra formula di bisezione del seno.]

 2) Nello spazio ordinario sono dati due piani a , b ed una retta r. Si sa che r è parallela ad a e perpendicolare a b . Cosa si può concludere circa la posizione reciproca di a e b ? Fornire un’esauriente spiegazione della risposta.

 3) Il dominio della funzione f(x) = è l’insieme degli x reali tali che:

 Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire un’esauriente spiegazione della scelta operata.

 4) Si consideri un polinomio di grado n³ 2 nella variabile reale x con coefficienti reali. Dimostrare che condizione necessaria e sufficiente affinché esso ammetta due zeri uguali al numero reale a è che il valore del polinomio e quello della sua derivata prima si annullino per x=a .

 5) Stabilire se esistono i limiti della funzione f(x) = per:

 6) Dimostrare che la derivata, rispetto ad x, della funzione:

 7) Utilizzando il procedimento preferito, dimostrare la formula che fornisce l’area della regione piana racchiusa da un’ellisse di semiassi noti.

Servendosi della calcolatrice (o eventualmente di tavole logaritmiche) calcolare un valore approssimato della soluzione della seguente equazione in x:

 9) La funzione reale di variabile reale f(x) è derivabile in ogni x per cui risulti -1£ x£ 0; inoltre f(0)=0 e -1£ f ’(x)£ 0 in ogni x dell’intervallo –1<x<0. Stabilire in modo esauriente se è vero o falso che risulta 0£ f(-1)£ 1.

 10)  Considerata l’equazione in x:

a x² + b x + c = 0 ,

dove a, b, c sono numeri reali qualsiasi, con a¹ 0, scrivere un algoritmo che ne determini le soluzioni reali e le comunichi, esaminando tutti i casi possibili.