E' dato un triangolo equilatero ABC ed un punto interno P qualsiasi. Traccio i segmenti di perpendicolare PH, PK e PL rispettivamente ai tre lati AB, BC e CA. Congiungo poi il punto P con i tre vertici A, B e C.
Dimostrare che la somma delle aree dei triangoli PHB, PKC e PLA è la metà
dell'area del triangolo ABC.

La riposta di Rocco Lupoi

Si tracciano da P le parallele ai tre lati del triangolo equilatero.
Indichiamo con Lb e Kc le intersezioni della parallela a BC con AB e AC rispettivamente, con Hc e La le intersezioni della parallela a CA con BC e BA rispettivamente e con Hb e Ka le intersezioni della parallela ad AB con BC e CA.
A questo punto la tesi segue dall'osservazione che tutte le parti interessate sono facilmente eguagliabili in quanto meta' di parallelogrammi o di triangoli equilateri.

La riposta di Mauro Rosestolato

Si tracci la parallela a BC passante per P e siano M ed N le intersezioni di questa rispettivamente con AB
e con CA.
Si tracci la parallela ad AB passante per P e siano T e U le intersezioni di questa rispettivamente con BC e con CA.
Si dimostra ora facilmente che:
-il quadrilatero AMPU è un trapezio isoscele e la somma delle aree di APU e di HMP equivale all'area di
AHP;
-il quadrilatero MBTP è un parallelogramma e l'area di MBP equivale all'area di BTP;
-il quadrilatero PTCN è un trapezio isoscele e la
somma delle aree di PTK e di PCN equivale all'area di PKC;
-il triangolo UPN è equilatero e l'area di UPL equivale all'area di LPN.

A questo punto si conclude.