PROBLEMIPROBLEMI

2001

I NUMERI PERFETTI

Euclide, nel VII libro dei suoi Elementi, dà la seguente definizione:

" Si dice perfetto ogni numero uguale alla somma dei suoi divisori" (diversi da se stesso: se includiamo tra i divisori il numero stesso si può dare la seguente definizione: Un numero si dice perfetto se il suo doppio è uguale alla somma di tutti i suoi divisori).

Il più semplice numero perfetto è 6 (6=1+2+3); il secondo dei numeri perfetti è 28 (28=1+2+4+7+14); seguono i numeri 496 e 8128. Questi quattro numeri sono esprimibili nella forma

2ⁿ · (2ⁿ⁺¹-1)

(ponendo rispettivamente n=1, 2, 4, 6).
Ci si può rendere facilmente conto che non tutti i numeri esprimibili nella forma suddetta sono perfetti: non è perfetto, per esempio, quello che si ottiene con n=3, 120, né quello che si ottiene ponendo n=5, 2016). Si può però dimostrare che sono perfetti tutti quelli per cui (2ⁿ⁺¹-1) è un numero primo.

Dopo questa doverosa premessa proponiamo il primo problema del mese, proposto da Luca Terreni

Prendiamo spunto dalla questione proposta da nostro lettore per un approfondimento sui numeri perfetti.

Teone di Smirne (II sec. d.C.) fece notare che i primi quattro numeri perfetti (6, 28, 496 e 8128) cadono rispettivamente negli intervalli 1-10, 10-10², 10²-10³, 10³-10⁴: tale regola vale anche per il quinto numero perfetto?

Trovare il quinto numero perfetto.

Teone notò un'altra curiosa proprietà, e cioè che i primi numeri perfetti terminano alternativamente per 6 e per 8; pensò che tale proprietà fosse valida in generale ma si sbagliava: tutti i numeri perfetti pari terminano per 6 o per 8 (si tratta di una congettura non ancora dimostrata!) ma non alternativamente; per esempio il quinto ed il sesto terminano per 6, il settimo e l'ottavo per 8.

Molti matematici si occuparono in seguito dei numeri perfetti, ma con Leonardo Fibonacci (XIII sec. d.C.) i numeri perfetti noti con certezza erano ancora i primi quattro, anche se egli afferma che sono in numero infinito (anche questa è una congettura non ancora dimostrata!)

L. Pacioli (1445?-1514?) indica in 9 007 199 187 632 128 il quattordicesimo dei numeri perfetti (tale valore, ottenuto con la formula più volte menzionata con n=26, non è in realtà perfetto!) ma non lascia l'elenco completo.   Egli ebbe ad osservare che "I numeri perfetti sono rari e affascinanti":

Ancora si comme fra la gente più imperfecti e tristi che buoni e perfecti si trovano e li buoni sono pochi e rari: così fra li numeri pochi e rari sono li perfecti e molti e assai sonno li imperfecti: cioè superflui e diminuiti.

(superflui sono i numeri la cui somma dei divisori, diversi dal numero stesso, supera il numero stesso, diminuiti quelli maggiori della somma dei divisori).

P.A. Cataldi (1552-1626) dimostrò che otto dei numeri indicati da Pacioli non erano perfetti.

Nel 1638 Cartesio (1596-1650) afferma che tutti i numeri perfetti pari sono del tipo

2ⁿ · (2ⁿ⁺¹-1)

Tale affermazione è dimostrata da Eulero (1707-1783) che offre l'elenco completo dei primi otto numeri perfetti

Quali sono i primi otto numeri perfetti?

Cartesio ed Eulero non escludevano la possibilità di avere numeri perfetti dispari ed il problema è tuttora aperto: è stato dimostrato che se esiste un numero perfetto dispari deve avere non meno di 300 cifre e deve essere composto da almeno 29 fattori primi.

Quanti sono i numeri perfetti attualmente conosciuti?

Qual è il più grande numero perfetto attualmente conosciuto? A quando risale la sua scoperta?

Terminiamo queste note sui numeri perfetti proponendo il secondo problema del mese:

Invitiamo i lettori a proporre altri metodi informatici che consentano di indagare sulle proprietà dei numeri perfetti.