SOLUZIONI SOLUZIONI

2004

... geometria sintetica

Trovare per via geometrica un punto P su una data retta r, il quale abbia da due punti dati A e B distanze di somma o differenza massima o minima.
Dedurre che tra tutti i triangoli di data area e data base, l'isoscele ha perimetro minimo.
 

(PUNTEGGIO MASSIMO: 10 PUNTI)

>> REGISTRATI SUL FORUM E DISCUTI  LE SOLUZIONI DEI LETTORI <<

La soluzione di Luigi Bernardini (PUNTI 10)

La soluzione di Maurizio Castellan  (PUNTI 10)

La soluzione di jack202 (PUNTI 6)

Se A e B si trovano dalla stessa parte rispetto a r, consideriamo il simmetrico di B rispetto a r, cambiamo nome a B in modo che diventi C, e chiamiamo il punto
appena costruito B.(ovviamente PB=PC. a questo punto ci riduciamo allo studio del caso in cui A e B si trovano da parti opposte)


1) Il segmento AB è una geodetica, dunque la soluzione del problema (AP+PB minimo), detto O il punto di intersezione tra AB ed r, è: P coincidente con O.

2) Il problema (AP+PB massimo) non ha senso. Possiamo prendere un punto su r "molto distante" da O e incrementare progressivamente il valore di AP+PB, che dunque tende a + infinito.

3) Neanche il problema (AP-PB minimo/massimo) ha senso.
Poniamo OA=x OB=y e chiamiamo t il coseno dell'angolo (acuto o ottuso a seconda della configurazione) tra AB ed r. Prendiamo un punto P su r e poniamo OP=z. Per il teorema di Carnot (o del coseno) PB = sqrt(x^2 + z^2 - 2xtz) PA = sqrt(y^2 + z^2 + 2yzt). E' immediato verificare che la funzione f(z)=(PB-PA)(z) è una funzione monotona e limitata sia dall'alto che dal basso. (Se vogliamo anche per applicazione della disuguaglianza triangolare). Il problema (AP-PB minimo/massimo) viene
dunque risolto dagli "estremi" della retta r.

4) Fra tutti i triangoli con base ed area assegnate, quello isoscele ha il perimetro minimo.

E' diretta conseguenza del punto 1). Sia ABC un triangolo che soddisfa i requisiti (base assegnata AB). Consideriamo ora la retta r parallela ad AB e passante per C. Tutti
i triangoli che soddisfano i requisiti hanno vertice P posto su r (poichè Area=Base*Altezza/2 anche l'altezza è fissata). Per quanto visto nel punto 1) AP+PB è minimo
quando APB è isoscele.