.: Le soluzioni del problema di Maggio 2004 :.

I triangoli equilateri ABC e AB'C' hanno in comune soltanto il vertice A. Inoltre i punti C, B, C' sono allineati, con B compreso fra gli altri due. Sia G il baricentro del triangolo AB'C'. Dimostrare che CG è la bisettrice dell'angolo ACB.

Abbiamo che ABC1=120° e AB1C1=60°. Quindi il quadrilatero ABB1C1 è ciclico. Il baricentro del triangolo equilatero in questione passa per 3 dei punti di questo quadrilatero e quindi, essendo unica la circonferenza passante per 3 punti, è la circonferenza in cui il quadrilatero è inscritto. Ciò vuol dire che AG=GB perchè entrambi raggi e che quindi G sta sull'asse di AB. Inoltre anche C sta sull'asse di AB. Quindi CG è la retta su cui giace l'altezza relativa a C. Ma l'altezza in un triangolo equilatero è anche bisettrice e quindi la tesi è dimostrata...

Innanzitutto abbiamo ^AGC' = 120° e ^ACC' = ^ACB = 60°. Da questo segue che il quadrilatero ACC'G è ciclico, e per il teorema dell'angolo alla circonferenza si ha ^GCA = ^GC'A = 30° e questo basta a concludere che la retta CG è bisettrice dell'angolo ^ACB.