DOPO P. SACCHERI

Con le ipotesi dell'angolo ottuso e dell'angolo acuto lo stesso Saccheri aveva gettato le basi dei due tipi di geometrie non euclidee, che saranno definite rispettivamente, dai nomi dei loro elaboratori, geometria di Riemann e geometria di Lobacevskij.

Ma già prima di questi due matematici, LUIGI LAGRANGE (1736-1813) intuí la possibilità di ricavare geometrie "diverse" da quella euclidea; solo che egli, vittima del pregiudizio comune, non osò comunicare i suoi risultati, perché avrebbe dovuto sostenere pubblicamente che ci sono piú geometrie "vere", il che gli sembrava scandaloso. Bisognava arrivare alla consapevolezza che non esiste una geometria "vera", ma che ogni geometria è "vera" se non contraddittoria, nei procedimenti e nei risultati, con l'ipotesi assunta. Ma questa consapevolezza non poteva essere una conquista indolore, se si pensa che ammettere una geometria non euclidea significava abbandonare la stessa nozione di spazio tridimensionale che sta alla base del sistema euclideo, e per la quale quel sistema è incondizionatamente valido; e significava abbandonare, con quella nozione di spazio, anche la nozione euclidea di piano, di retta, ecc. (ad esempio, se disegnati su una superficie sferica, la retta sarà anche un arco di circonferenza, il quadrilatero fondamentale isoscele avrà angoli interni che sommati saranno maggiori di quattro retti, e il triangolo avrà angoli interni che sommati saranno maggiori di due retti). La resistenza ad ammettere "altre" geometrie veniva proprio dall'idea che lo spazio "reale" fosse quello "euclideo", e pertanto quella euclidea fosse l'unica vera geometria.

In ogni caso, nella prima metà dell'Ottocento venne ripreso il discorso di Saccheri. E nacque quella che oggi si dice "geometria iperbolica", per la quale, assunta l'ipotesi dell'angolo acuto, per un punto esterno ad una retta complanare si possono condurre non una ma due parallele alla retta data. E solo nella seconda metà dell'Ottocento fu scoperta quella "geometria ellittica" costruita sull'ipotesi dell'angolo ottuso, e per la quale per un punto esterno e complanare ad una retta non passa alcuna parallela alla retta data.