Il decadimento radioattivo.
Mentre la probabilità di sopravvivenza di un uomo è influenzata dalla sua storia precedente, cioè dall’intervallo di tempo trascorso dalla sua nascita, in ogni istante della vita di un elemento radioattivo la probabilità di sopravvivenza a un decadimento alfa o beta rimane sempre la stessa. In altre parole, per gli esseri viventi "è più probabile morire vecchi che giovani", mentre un nucleo radioattivo ha la stessa probabilità di morire qualunque sia la sua età (il decadimento spontaneo di un nucleo è un processo puramente casuale). Per calcolare questa probabilità occorrerà eseguire misure su campioni di sostanze radioattive che contengono sempre un elevato numero di atomi. La probabilità di decadimento radioattivo verrà evidentemente determinata statisticamente.
Ciò premesso consideriamo un campione costituito da un numero N0 molto grande di atomi di un determinato isotopo radioattivo. Dopo un piccolo intervallo di tempo D t un certo numero di atomi è decaduto e di conseguenza il numero di atomi dell’elemento originario è variato di una quantità che indichiamo con -D N. Come il numero dei decessi che avvengono in una città è proporzionale al numero degli abitanti della città e all’intervallo di tempo considerato, così, qualunque sia la natura dell’isotopo, il numero di atomi decaduti è proporzionale al numero Nt di atomi inizialmente presenti e all’intervallo di tempo D t, cioè:
-D N=l Nt Dt
ove l è una costante di proporzionalità caratteristica dell’elemento considerato, chiamata costante di decadimento o di disintegrazione. Essa è definita come la percentuale di atomi che si trasformano nell’unità di tempo. Se, ad esempio, come unità di misura per i tempi si considera l’anno, la costante di disintegrazione del radio è uguale a 1/2200. Ciò significa che in un anno solo un atomo di radio su 2200 subisce un decadimento radioattivo.
Se ora indichiamo con R la velocità di decadimento, cioè il rapporto tra il numero dei nuclei che decadono in un intervallo di tempo D t è l’intervallo di tempo stesso, si ha che:
R = - D N / D t
Dove il segno negativo sta a indicare che N diminuisce all’aumentare di t.
Da qui, tenendo conto delle formule precedenti, si può scrivere che: R(t) = l Nt Dt / D t, e quindi, semplificando, che: R(t) = l Nt, dalla quale si ricava, mediante un calcolo integrale, che:
Nt=N0e-l t
La precedente, chiamata anche legge del decadimento, mostra come, partendo da N0 atomi, il numero di Nt atomi presenti all’istante t, che non si sono ancora disintegrati, decresce esponenzialmente nel tempo. Questa legge può essere rappresentata mediante la curva rappresentata in figura 4:
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Fig.4: Rappresentazione del numero N di atomi non ancora decaduti in funzione del tempo. In figura sono indicati il periodo di dimezzamento T, cioè il tempo dopo il quale il numero iniziale di atomi si è ridotto alla metà, e la vita media t , cioè il tempo necessario affinché il numero di atomi dell’isotopo originario si sia ridotto alla frazione 1/e = 0,368, del valore iniziale. |
