Bernhard Riemann

A confermare che era possibile costruire geometrie diverse da quella euclidea fu Bernhard Riemann (1826-1866), che costruí un altro tipo di geometria, egualmente rigorosa e coerente, ipotizzando una nozione di spazio, di piano, di retta ecc. diversa da quella che era alla base del sistema euclideo. Ciò fece nel suo celebre saggio Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria, del 1854.

È un errore, dice Riemann, confondere l'"illimitatezza" con l'"infinità" dello spazio; il primo concetto è infatti relativo all'"estensione", cioè è un concetto "qualitativo"; il secondo invece è relativo alla "misura", cioè è un concetto "quantitativo". Sicché si può ipotizzare uno spazio che sia insieme "illimitato" e "finito"; e quindi una retta che sia, ugualmente, illimitata e finita. Nel caso della retta, essa risulterà quindi "chiusa".

Allora, si consideri in un unico piano una retta e un punto fuori di essa. Si assuma la retta illimitata e finita. Si consideri di essa, ora, un qualsiasi punto N; esso, spostandosi, ritornerà al punto di partenza avendo percorso una distanza di misura finita.

Orbene, già si può constatare che in uno stesso piano due rette s'incontrano sempre e necessariamente, in qualunque condizione le si consideri; ossia che due rette, in uno stesso piano, non possono essere parallele tra loro, secondo la definizione euclidea di parallelismo. Ma si considerino le perpendicolari ad una retta qualunque, sussistenti da una stessa banda. Esse, tutte, passeranno per uno stesso punto A. Inoltre questo unico punto A risulterà equidistante da tutti i punti della retta data. Prendiamo ora in esame tutte le perpendicolari a quella retta dalla parte opposta. Anche in tal caso esse si incontreranno in uno stesso punto A' equidistante da ciascun punto della retta data.

Ora si possono dare due casi diversi: il primo, in cui il punto A e il punto A' coincidono; il secondo, in cui detti punti non coincidono. Nel primo caso avremo una "geometria ellittica", nel secondo una "geometria sferica". Nel primo caso due rette s'incontrano in un solo punto; nel secondo due rette s'incontrano sempre in due punti.