LA SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN TRIANGOLO

Quanto al teorema euclideo in base al quale la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a due retti, nelle geometrie non euclidee, per la diversa nozione di piano che ne sta alla base, esso viene modificato in questi termini. Per la geometria di Riemann quella somma è sempre maggiore di due retti; per quella di Lobacevskij essa è sempre minore di due retti.

La cosa non risulterà difficile se si considera un triangolo una volta disegnato su una superficie sferica (geometria di Riemann) e una volta disegnato sulla superficie esterna di una trombetta (secondo il modello della geometria di Lobacevskij); in entrambi i casi avremo un triangolo con lati curvilinei. Ma c'è di piú. A partire dall'ipotesi di Riemann si dimostra che c'è una differenza tra la somma degli angoli interni e due retti, che è definita "eccesso angolare", e che aumenta con l'ingrandirsi del triangolo. Se invece si considera il modello della geometria di Lobacevskij, esiste una differenza tra due retti e la somma degli angoli interni di un triangolo, che vien definita "difetto angolare", e che aumenta con l'ingrandirsi del triangolo.